力学、トレース、行列

だいぶ前に、スターバックスのナプキンに絵を描いてスキャンした（そんとき説明も付けていたんだった）。なんか古代の壁画みたいだが。

絵のみ：dynamics-additive-trace.jpg

左から右、上から下の順で説明をする； 自分で納得してこれだけの絵を描けるようになるまで何年かかったことか（ため息）。

最初の絵は、連続空間（多様体）上の境界付き力学系。トーラスに2個穴を開けた図形の上に力学系＝ベクトル場がある。赤でA、Bと書いてあるところは、本来は力学系自体を構成しない。境界である穴（の円周）をキレイな形に調整するために襟（カラー）を着けている。Aが入り口の襟で、Bが出口の襟。コボルディズムで繋ぐときも襟があったほうが作業しやすい。

このような境界付き力学系の離散版を考える。連続力学系を実際に離散近似するのとは違うが、概念的に参考にする。n, m, k は、離散版における点の個数。入り口境界上にn個の点、出口境界上にm個の点、力学現象が起きている内部Xにk個の点。

最初に、行列の2部グラフ表示で考える。n+k→m+k の行列。入り口の襟をAで表し、内部力学をX、出口の襟をBで表す。矩形方陣としての行列は最後の絵にある。二部グラフ表示を描きやすいように簡略化すると右側のワイヤー図。A, B, Xは適当な符丁（団子とか）にしている。

ワイヤー図のトレースは何度もやっている（例えば、http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20100701/1277947580 とかもヒントになる）。Tr[(A + Δ);(σ + X);(B + ∇)] = A;X*;B という公式。

通常の行列を使って書くと、一番下の形。ここで、ブロックA, Bの位置がいつもと違うが、ブロックの配置はあんまり問題にならない。A、B、X の役割が問題。Aが入力、Bが出力、Xが遷移系。