公平なマグマ、ベックの法則
ベックの法則の定式化がけっこう分かってきた。これはさすがに書いておかないとな。忘れるからな。
基本的に（メンタルに）想定しているのは多元環Rと加群Mなんだが、モノイドとモノイド作用なら何でも同じこと。ここでは、モノイド構造さえ考えないでマグマを使う。
モノイド圏を固定して、そのなかで考える。×はモノイド積で、繰り返し積は累乗形式で示す。Rn→R というn項演算を備えた対象をn-マグマと呼ぶ。より一般に、(2, 4)-マグマとは、2項演算と4項演算を備えたもの。(0-2)-マグマは、0項から2項までの演算を備えたマグマ。すべての非負整数kに対してk-マグマになっている構造を公平なマグマ（unbiased magma）と呼ぶ。平均値とかはその例。
公平なマグマRと対象Mに関して、ベックのスワッパーとは、βn:M×Rn→Rn×M という射の族。いちいち下付きnは書かないことにする。
まず、バンドリング（バンドル／アンバンドル）条件を満たさなきゃならない。n = m + k だとして（図の見方は後）：
M×(Rm×Rk)
---------------
β
---------------
(Rm×Rk)×M==================
M×(Rm×Rk)
---------------
α
---------------
(M×Rm)×Rk
---------------
β×Rk
---------------
(Rm×M)×Rk
---------------
α
---------------
Rm×(M×Rk)
---------------
Rm×β
---------------
Rm×(Rk×M)
---------------
α
---------------
(Rm×Rk)×M
これは、イコールで区切った上下が同じあることを主張する。で、上下の部分は証明図風だが、射の記述。上から下に流れ落ちる図式を、適当な水平面でスライスしながら描いている。ハイフンの横線は水平面を表す。各段（横線のあいだ、フロア）に射を書く。対象も書いてあるが、対象と恒等射を同一視すれば、全部射（縦方向に描いたワイヤー）だと思ってよい。
下側の図は複雑に見えるが、アソシエータαを律儀に書いてるからで、次でも十分。
M×Rm×Rk
---------------
β×Rk
---------------
Rm×M×Rk
---------------
Rm×β
---------------
Rm×Rk×M
さて、バンドリング条件はスワッパーと呼ぶために必須だが、次にベックの法則。Rが公平マグマで、μがその乗法だとする。正確には、μn:Rn→R の集まりだが、下付きは省略。以下の等式がすべてのnで成立することを主張するのがベックの法則。
M×Rn
--------
M×μ
--------
β
--------
R×M=============
M×Rn
--------
β
--------
μ×M
--------
R×M
n = 0, 1, 2 で調べると実感が湧く。マグマがモノイドのときは、普通のベックの分配法則に近い。
以上の公平マグマに対するマグマ作用（加群の原始的な概念）を入れると、かなり一般的な枠組みになると思う。
あと参考：
