マグマ

http://math.ucr.edu/home/baez/week136.html より：

Now, strict ω-categories are great, but we need to weaken this notion. So, first Penon defines an "ω-magma" to be something exactly like a strict ω-category but without the axioms of type B. You may recall that a "magma" is defined by Bourbaki to be a set with a binary operation satisyfing no laws whatsoever - the primeval algebraic object! An ω-magma is just as lawless, and a lot bigger and meaner.

strict ω-categories are too strict: all laws hold as equations. Ω-magmas are too weak: no laws hold at all! How do we get what we want?

高次圏論的マグマはPenonが起源だそうだ。が、昔ブルバキが定義していたのか、フーン。

フーティアの論文から、マグマの定義を引き写しておく。マグマは、ωグラフ（反射的球集合）をベースに、結合（composition）と呼ばれる二項演算を入れた形をしている。二項演算の性質が5つの公理になっているが、3つと2つに分けて述べる。フーティアは、中置の○^j_iで演算を表している。上付きjはセルの次元、下付きiはセルどおしが接合している境界の次元である。ここでは、[^j_i]を使う。

最初の3つ（まとめたり、順序を変えたり）は、

1. （もとの2と3）jセルaとbがi次元境界で隣接しているなら、a[^j_i]b が一意に定まる。
2. a[^j_i]b = c ならば、aとbはi次元境界で隣接している。

残りの2つは、a[^j_i]bの境界（dom, cod）がどんな形をしているかを規定する。

1. i = j - 1 のとき、dom^j(a[^j_i]b) = dom^j(a), cod^j(a[^j_i]b) = cod^j(b) が成立する。
2. i < j - 1 のときは、dom^j(a[^j_i]b) = dom^j(a) [^j-1_i] dom^j(b)、cod^j(a[^j_i]b) = cod^j(a) [^j-1_i] cod^j(b) が成立する。

「a[^j_i]b が一意に定まる」を、「定まるかもしれない。もし定まるなら一意的である」に置き換えるとプレマグマ（premagma）が定義できる。

[追記]そういえば、フーティアの論文を明示的に参照してなかったわ。

• Title: Weak Omega Categories I (11 Apr 2004)
• Author: Carl A. Futia
• URL: http://arxiv.org/abs/math.CT/0404216
• Pages: 57

[/追記]