ミーティング・スケジューラ、イベントの代数

Erlangでミーティング・スケジューラを作ろうかな、っと。そういうもんは色々あるんだけどさ、メールとか使わないでもっとダイレクトにサッサッとできるヤツね。通信はWCC使って； 現状、通信のセキュリティがないのが大問題だけど、そこはホッカブリして、理屈を考える。

理屈はうんと理屈っぽくね。

基本はイベント一元論。ここでのイベントは時区間（time interval）にラベルを付けたもの。時間の1次元アフィン空間をTとする； これはニュートン時間ね、相対論使いません^^; 時区間iは、i⊆T なんだけど、開始時点s, 終了時点e（s, e∈T）により、i = [s, e] と書けるもの。それで、ラベルの集合をLとして、イベントは (A, i) = (A, [s, e]) と表現できる。ここで、A∈L、s, e∈T, s≦e 。

ラベルの集合Lは固定するとして、イベントの全体はEvとする。イベントには、それ以上は分解できない原子イベントがある。原子イベントの集合をAE（atomic evetns）とする。当然 AE⊆Ev。AEは天下り（公理的と言ってもいいが）に与えられている。AEの条件とか使い方は、また後で。

イベントa, bなどに対して、そのラベルはA, Bなどと書くことにする（単に、記法上の約束）。特殊なイベントをいくつか導入しておく。まず、(A, [s, s])の形のイベントは時点イベント、または点イベント。s＞t のとき [s, t]は空になるから、これも認めて0と書くことにする。(A, 0)は空イベント。ラベルが付いているので空イベントは無限にある（Lは無限としておく）。さらに、Lのなかに特殊な⊥（ボトム）を入れておく。⊥の意味は何ものでもない、ってこと。

Lのなかに∧（ミート）って演算を入れる。

• A = B のとき、A∧B = A = B
• それ以外のとき、A∧B = ⊥ （気持ちとしては、そんなものねーよ）

i, j が時区間のとき i∩j は、単にTの部分集合の共通部分として定義する。空区間を認めたので、この演算は、時区間のなかでwell-defienedとなる。

∧と∩を組み合わせて、

• (A, i)∧(B, j) = (A∧B, i∩j)

と定義する。これもミート。言い忘れていたが、(⊥, i)は、iが何でもあっても(⊥, 0)と同一視する。(⊥, 0)は絶対的空（どこにもない）の意味。(⊥, 0)をΘと書くことにする（形が0に似てるから）。(A, 0)と(B, 0)も同一視したほうがいいかどうかは、まだ分かってない。

• (a∧b)∧c = a∧(b∧c) （結合的）
• a∧Θ = Θ∧a = a （単位的）
• a∧b = b∧a （可換）
• a∧a = a （ベキ等）

となるから、イベントの全体はベキ等可換モノイドとなる。ミート半束とか呼ぶこともあるね。a⊆b ⇔ a∧b = a として順序が入る。a⊆b のとき、イベントaはイベントbに含まれる、あるいは、aはbの部分イベントと言おう。

今日はここまで。