∃同値と∀同値

恒等射、同型射、圏同値を与える関手などを総称して、同値性セル（equivalence cell）と呼ぶことにする。

A, Bのあいだに、i:A→B と、（iに対して一意的とは限らない）i^#があって、

1. i;i^# 〜 id_A
2. i^#;i 〜 id_B

となることが同値性セルの条件。ここで、〜 は、適当な同値関係だが、ホモトピーとの類似では A、Bを基点とするループのホモトピーに相当する。

同値性セル i:A→B が存在すれば、AとBは∃同値と呼ぶことにする（正確に書くと、形容詞がイッパイ付くが省略）、単に同値性セルが存在するよ、って意味。i, j:A→B が2つの同値性セルだとして、iとjがより高い次元で同値であることはまったく保証できない。より高い次元の同値で同値性セルを分類すると、同値性の同値類ができる。

AとBの同値性の同値類が1つだけしかないとき、AとBは∀同値と呼ぶことにする。、すべての同値性が事実上同じってことね。この∀同値性は強いので、強同値とか呼びたいが、もともとがup-to-homotopyのようなsettingで考えているので弱い。混乱するから「強」は止める。

だが、∀同値は、弱い同値関係の世界ではトンデモナク強くて、AとBはどうやっても区別できないことを意味する。実在物としては超越的に区別できても、構造的／機能的に区別できないし、取り替えても誰も分からない、つうか誰も迷惑しない。

2-圏で考えると、対象を∀同値で分類すると、その商集合の上には圏（1-圏）の構造を載せることができる。これは確かに骨格圏と呼んでいいと思う。が、無理に商を作るのが得策とは思えなくなってきた。亜群の構造やさまざまな同値関係をあるがままに見たほうが、豊富な情報を捨てずに済むから有益だろう。