また用語で困ったぞ、形容詞「バーンサイド」

昨日のエントリーで、バーンサイド（Burnside）を形容詞に使ったのだが、既に使用例がある。

• バーンサイド環：有限群Gが作用する有限集合の圏（直和と直積を考えて分配圏）の、グロタンディーク環（Grothendieck ring）。Gに対して定義されるので、「Gのバーンサイド環」という用法。
• バーンサイド関手：有限群Gの部分群Hに対して、Hのバーンサイド環を対応させると、順序構造を圏とみなして環の圏への加群関手となる。これがバーンサイド関手。

いくつかの論点がある。

まず、バーンサイド環は圏に対して定義されているわけではないが、GではなくてFinSet_Gを定義域とみなすと、圏→環 となる。もともとの状況でも、Gを動かして {FinSet_G | Gは有限群} とすれば、レルム上でバーンサイド環関手が定義される。そのレルムが有限群でパラメトライズされる（インデックスされた圏）だけ。よって、とあるレルム上で定義され圏Rngに値を取る関手とみることはまーいいだろう。

次に、バーンサイド環は、半環ではなくて環。グロタンディーク環やグロタンディーク群の構成では、半環、モノイドから環や群を作る。ところが、フィオール／レインスター（Fiore/Leinster）はグロタンディーク構成はしてない。単に同型類を取るだけ。

となると、本来の定義からどう一般化したか？ というと：

1. 有限群ではなくて、単なる圏に対してバーンサイド系が定義される。
2. バーンサイド系は環である必要はなくて、さまざまな圏の対象である。
3. 同型類を取るが、グロタンディークの構成（これも関手）はしない。

逆に、本来のバーンサイド環／バーンサイド関手は、次の手順で構成される。

1. 有限群Gから、圏やレルムを準備する
2. レルムに対して一般化バーンサイド関手を適用する。
3. 一般化バーンサイド関手の後に、グロタンディーク構成の関手を適用する。

と、書いてみると、一般化したというようりは、元のバーンサイド関手の一部だけを取り出して利用している感じだ。プレ・バーンサイド関手がいいかな。