Seven Treesの楽屋裏：Ring of high elements

Seven Treesのメタ定理において、半環から環を絞り出すことが重要なのだが、フィオレ（Fiore*1、フィオール？）とレインスターは、ここで面白い議論をしている。簡単だが見たことがない論法。意外； なんで考えついたかわからんし、他の方法との関連も不明。

可換半群（単位元を要求しない）の圏（またはセオリー）内で考えるとして、高い元（high element）とクリーク（clique）を次のように定義する。以下、A = (A, *) は可換半群だとする。

• a, c∈A、a＜_Ab :⇔ ∃c∈A.(a*c = b) （下付きAは適宜省略する）
• a∈A が高い :⇔ ∀x∈A.(x＜a)
• H(A) = {a∈A | aは高い}
• Aがクリーク :⇔ A = H(A)

関係＜は、Aに単位元がなければ反射的にならない。推移的ではある。

• 定理： Aがクリーク ⇔ Aはアーベル群

ここで注意すべきは、Aに単位元eがあっても、アーベル群としての単位元になるとは限らない点。この点をハッキリさせると：

• (A, *, e)が可換モノイドでクリークだとすると、z∈Aがあり、(A, *, z)にアーベル群の構造を与えることができる。

以上より、任意の可換半群Aに対して、H(A)にアーベル群構造を与えることができる。ただし、H(A)が空のケースもある。

以上の準備のもとで、Rが半環だとして、半環の加法だけを考えて（他は忘却）可換半群の圏にいったんは入れる。高い元の集合H(R)が空でないとして、適当なz∈H(R)を選んでアーベル群にできる。問題は掛け算で、もとの掛け算をH(R)上にうまく定義できるか？ これは個別ケースで確認するしかないようだが、N係数多項式半環のとある商半環のときはうまくいく。結局うまくいくので、高い多項式の環ができ上がる、というシナリオ。

[追記]上の段落で消してあるところは僕の勘違い。(R, +, *, 0, 1)が半環だとして、半群(R, +)から作ったH(R, +)を単にHと書くことにして、(H, +, z)（zは通常0とは異なる）がアーベル群になるのだった。実は、掛け算単位1も別に準備して、(H, +, *, z, u)が環になる。u = 1 + z。

半環Rから、環Hを抜き出すというよりは、(R, +, *, 0, 1)と、H⊆R に対する (H, +, *, z, u)を一緒に考える感じ。同じ足し算／掛け算に関して、異なる加法単位／乗法単位で半環と環が同居しているのが面白い。単位を無視すれば部分半環なのだが、Hに制限し、かつ単位を変えているのでうまいこと逆元が生じている。うーん、これは思いつかないよなー、、、 僕が商を作るほうばかり見ているせいか？

それはそうと、どーでもいいが「クリーク」は「閉鎖的で小さい仲良しグループ」みたいな意味があるのね。H(R)は互いに移りあえるので確かにクリークな感じだ。しかも、メンバーはみんなハイソ(high)で、他人を（実は自分も）見下している（∀x. x＜a）から、かつてのヒルズ族みたいなもんだな、、、←まったく無意味な比喩。[/追記]

このシナリオが一般的なのか限定的なのかわからない。ベクトル束の安定同値などを作る方法と似ているような気もするが、ハッキリしない。

*1:例によって読み方は分からんが暫定カタカナ書き。[追記]フィオールのほうがいいような気がしてきた。[/追記]