テンソル代数

本編の「伝統的テンソル計算を理解するヒント」において、内積空間Uをひとつ固定して、内積空間と（任意の）線形写像の圏の充満部分圏Tens[U]を考える、という話をした。

実はUが内積空間（ユークリッド空間、ヒルベルト空間など）である必要はなくて、Uとその双対U^*があればよい。U^*も標準的な双対である必要はなくて、UとWが a dual の関係にあればよい。すると、UとWと非退化双線形形式φをもとに、最小のコンパクト閉圏が作れる。そこでの計算がテンソル計算になる。

ところで、ベクトル空間Uに対して、外積代数（交代代数）A(U)とか対称代数S(U)が作れる。Tens[u]に対応する代数（多元環）はなんだろう。Uを文字'+'、U^*を文字'-'で代表するとしよう。この文字は別になんでもいいのだが、ともかく2文字。アルファベット{+, -}から作られる文字列、たとえば"+--+"がテンソル積 U(×)U^*(×)U^*(×)U を表す。U(×)U^*(×)U^*(×)U = U^+--+ のような指数表示をする。

任意の文字列α∈{+, -}^*（ここのスターはクリーネスター）に対する U^α を全部直和で組むと代数ができる。T(U) = Σ(α∈{+, -}^* : U^α) とすると、これは階付き代数（graded algebra）になる。階のモノイド（grade monoid）が非可換な{+, -}^*となる。しかし、αβ |→ βα という対称（symmetry）があるから、非可換だが割と扱いやすい。

圏Tens[U]と代数T(U)の関係って、圏-R代数とR化圏になってんじゃないのかな？ [追記]←全然違う。間違い。[/追記]