テンパリー／リーブ代数とかフロベニウス代数とか、どう理解するか

表題にテンパリー／リーブ代数と書いたが、実際はテンパリー／リーブ代数よりもっと基本的な代数なんだが、どうも特定の名前がないような気がする。まー、圏として見れば、「直進圏とその変種」で書いたようなタングル圏の変種のこと。フロベニウス代数は線形代数で定義できるが、圏としては曲面のコボルディズム圏になる。

フロベニウス代数に対応する曲面の圏は、タングルの圏の2次元版かというと、まったくもつれてないので趣がだいぶ異なる。にもかかわらず、外の空間（箱）が十分に高次元の場合の2次元タングルと思うことはできる。箱入りコボルディズム（相対コボルディズム）圏の特殊例になっていると考えてよい。

＼	タングルの圏	曲面の圏
注目する図形	コンパクト1次元多様体	コンパクト2次元多様体
図形の境界の形	n個の点（n≧0）	n個の円周（n≧0）
外の空間（箱）の次元	3	十分高いN
境界が載る空間（棒）の次元	1	2
からんでいるか	YES	NO
関連する代数	テンパリー／リーブ、他	フロベニウス

フロベニウス代数は、曲面の圏（からんでない2タングルの圏）を表現すると考えられる。からんでないので、ある意味では1次元タングルより簡単である。曲面の圏の生成元は、円筒パイプ（円周1個のid）、上下のズボン、上下の帽子（cup, cap）となる。n個の円周に全順序を入れる場合は、入れ替えとしてパイプの対称公差（クロッシング）も入る。

パイプの中心線を考えると、曲面の圏は1次元絵算で計算できる。ズボンはΔ、∇、帽子は生成／消滅になる。

1次元でも2次元どちらの場合でも、次のような3つのタイプの圏が出現する。

1. ほんとの図形の、なんらかのアイソトピー類の圏（幾何学的）
2. 記号の組み合わせによる圏（計算しやすい、アルゴリズムとして記述可能）
3. ベクトル空間や加群からなる圏に追加構造を付けた圏（基底を取れば行列計算）

ベクトル空間の圏を、双対を考えてスター圏、随伴（共役）を考えてダガー圏のように捉えておいて、その部分スター圏／部分ダガー圏などに、非退化双線形形式やR行列のような可逆な演算子などを見つける作業をするが、あれは、タングルや曲面の圏の線形表現を作っていることになる。

ようするにTQFTの枠組みだが、こう考えると話は簡単になる。いや、物理的な内容はトンデモナク難しくて、まったく手が出ないが、組み合わせ計算のところはシコシコ計算できるし、行列の計算も実行可能だから、計算目的なら理解可能な形となる。