ベクトル解析／テンソル解析

本編「テンソル：なぜ難しいのか」とかでも書いたけど、ベクトル解析／テンソル解析って不満だよなー。実に不満。

熱伝導のフラストレーションも、ベクトル解析／テンソル解析のフラストレーションなんだろう。ちょっと再定式化してみようか。って「ちょっと」で済まないのだけど…、せめて用語法を整理してみるか。

普通の用語法と食い違うのだけど、1次元のベクトル空間をスカラーと呼ぶ。空間X上のスカラー場ってのは、スカラー（1次元のベクトル空間！）のバンドルLのセクションだけど、もう少し一般化して、X上の開集合の族U_iと、Γ(U_i)の元（局所セクション）f_iの組(U_i, f_i)の族とでもするといいかもしれない。単一の(U, f)でもいいけど、ものすごくデカイ族でもいい。関数というのは、End(L)のセクションとして出てくるのが自然だろう。0にならない関数の掛け算はAut(L)として群作用する（伸縮作用）。

1次元のアフィン空間はスカラーポテンシャルと呼ぶ。高さとか温度とかね。スカラーポテンシャルの場と基準ゼロを与えるセクションを決めると、ポテンシャルはスカラーにより表現できる。これはファイバーの次元が増えても同じで、なんらかのポテンシャル場にゼロ・セクションを決めるとベクトル場になる。

（話が飛ぶが）接続の代数的な定式化って共変微分だよな、確か。Vがベクトルバンドル、Tが接バンドルとして、D:Γ(V)→Γ(V(×)T^*)という微分作用素が共変微分。V(×)T^*は、Vに値を取る微分形式Ω[V]と同じことだから、D:Γ(V)→Γ(Ω[V])でもいい。Γ(V)もΓ(Ω[V])も関数環（可換代数）R上の加群で、f∈Rにはdf∈Ωが前もって定義されている。

共変微分とは、上の設定でライプニッツ法則を満たすような微分作用素。共変微分の空間はアフィン空間になるようだ。α、βをα+β=1となる定数とすると、aD+βD' も共変微分になる。これ、昔、みつけたこと。だが、その意義は分からない。

ポテンシャルのバンドルはアフィン空間のバンドルでいいのか？というと、実際は局所アフィンなだけだろう。接続の幾何学的な意味は、アフィン空間の開集合の直積U×Vでバンドルの局所座標を入れられて、水平葉層構造みたいなスライスが存在することだろう。このスライスのなかに接続（平行移動）や共変微分が潜んでいるのだと思うけど、いまいちわからない。