さまざまな移動（moves）たち

組み合わせ幾何学的な簡約・変形を移動（move）と呼ぶ習慣がある。で、いろいろな移動をまとめてみる。

中心になるのは、ライデマイスター（Reidemeister）移動I, II, IIIである。

カウフマン（Kauffman）はジグザグ等式を移動0として追加している。アルチン（Artin）のブレイド関係式（ヤン／バクスター関係式）と正負ブレイドの逆関係（β₊・β_- = 1）は、ライデマイスター移動に含まれる。また、トゥラエフ（Turaev）はライデマイスター移動を拡張したトゥラエフ移動を定義している。イエッター（P.N. Yetter）もトゥラエフと同様な移動を定義している。

• →ライデマイスター、トゥラエフ、マルコフの移動

結局、アルチン⊆ライデマイスター⊆トゥラエフ／イエッターという増加列ができる。他に、やや傾向が違うがマルコフ（Markov）移動がある。

以下の表にこれらの移動をまとめる。アルチンとマルコフは“一般的呼称”欄に含める。イエッターは“トゥラエフ”欄に含める。他にバエズ／ラングフォード（J.C. Baez, L. Langford）の呼称も“バエズ”欄として記す。

特異点	一般的呼称	ライデマイスター	トゥラエフ	バエズ
変曲点	ジグザグ等式	移動0	スイッチバック移動	T-移動
尖点	ヤンキング／マルコフII	移動I	-	-
接触点	逆関係／マルコフI	移動II	-	-
三重点	ブレイド関係式	移動III	-	-
極点＋二重点	-	-	Ψ移動	H-移動

特異点に関しては、上のライデマイスター移動の図を参照。トゥラエフ／イエッターのΨ（プサイ）移動は以下の図。

Ψ移動とクロスオーバー公式の関係は：

• →トゥラエフ主移動とクロスオーバー公式

マルコフ移動は、xとx'が互いに逆なブレイドだとして：

1. b ⇔ x;b;x' （スライディングでキャンセル）
2. b ⇔ (b+1);[(n-1)+σ] （ヤンキングでキャンセル）

トゥラエフ移動では、モノイド圏の公理がそのまま図形的変形のかたちで入ってくる。ただし、交替律は次の形：

• f+g = (f+1);(1+g) = (1+g);(f+1)

この形は便利なので憶えておくとよい（"Introducing categories to the practicing physicist" by Bob Coecke, http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/bob.coecke/Cats.pdf に詳しい）。図形的には、横並びの箱の高さを上下にシフトさせる（トゥラエフの垂直スライド）変形になっている。

イブ・ラフォン（Yves Lafont）はこのテの上下シフトを構文的アイソトピー（syntactical isotopy）と呼んでいる（"Equational Reasoning with 2-dimensional Diagrams (1995)" http://citeseer.ist.psu.edu/56012.html）。バエズ／ラングフォードの呼び名はN-移動、コバノフ（Mikhail Khovanov）は"The height shifting morphism"と呼んでいる。