高次遷移系とコボルディズム／ホモトピー - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

どうも、双模倣というのはある種のホモトピー同値（ないしはコボルディズム／コボルダント）のような気がしてきた。

AとBが（ラベル付き）遷移系だとして、|A|、|B|を状態空間とする。関係R⊆|A|×|B|があると、Rの関係柱A∪_RBを、写像柱と同じように構成できる。柱を構成する縦線（仮に柱線とか茎線とでも呼ぼう）をグラフの辺とする。柱線に無音記号（沈黙記号、時間推進、タイムフィラー）を割り当てて、新しい遷移系を作れる。

問題は、直積遷移系A×Bの部分系Cを作って、「双模倣の運動対：Motion(A)×Motion(B) ≒ Motion(C)：Motion(A×B)」としたい。「双模倣の運動対≒DiagonalMotion(A∪_RB)＝Map({ハシゴ形信号}, A∪_RB)」。…、んっ、これ簡単かも。でも、C⊆A×Bを、適当な射の対の等値核（イコライザー）で表現しないとね。

関係柱A∪_RBは、AとBを両端の境界としたコボルディズムと思えるし、これは、AとBのホモトピー同値概念に近い感じがする。

トム・レインスターが"Up-to-Homotopy Monoids"という論説で、一般的文脈におけるホモトピーを定義している。

http://arxiv.org/abs/math/9912084
Title: Up-to-Homotopy Monoids
Authors: Tom Leinster
8 pages

多圏の文脈でも、ロス・ダンカンのthesisのなかでホモトピーが登場する。



6.5 Homotopy

6.5.1 Extended Labellings

6.5.2 Homotopy Equivalence

6.5.3 Circuits under Homotopy

6.5.4 Quotients of the Free Structure

セリンガーの一様射（長谷川の厳密射、ステファネスクの酵素射）の概念も、レインスターが定義している公理的ホモトピー同値で理解できないだろうか。

高次遷移規則（まずは2-遷移規則）を備えた高次遷移系を考える必要がありそうだ。通常の遷移系＝1-遷移系を理解するためにも、2-遷移系に埋め込んだり持ち上げたりする必要がある。2-遷移規則は、遷移規則のあいだの関係だから、遷移変形規則（transition deformation rules）とでも呼ぶのが適切か。2-遷移系は、「状態空間（点）＋遷移規則（線）＋遷移変形規則（面）」で構成される。

2-遷移系Xを“空間”と考えると、Xの基本圏（1次元ホモトピー圏＝ホモトピー1-圏）Γ(X)を考えることができる。Xを可逆化したモノをY（|X|=|Y|）として、基本亜群Π(Y)を作ることができる。Π(Y)の集合圏への表現がルッテン流の巨大オートマトンを与える気がするが、よくわからんなー。