CATOF xxx

ダウンした - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)、という事情でヘロヘロ。それに、手首と肘を痛めているからキーボードが満足に打てないことが辛い！

それはそうと、最近の山勘はけっこういいセンかも知れない。次のことを考えよう。

• 事例としては、(0+1)-コボルディズム、(1+1)-コボルディズム。CW複体と多様体のケース。(0+1)-CWはグラフになる。
• 係数としては半環、または圏。典型的なのはブール半環、クリーネ代数（クリーネ・コゥゼン半環）、コンウェイ半環など。
• 二重圏ベースで考える。

二重圏は内部構造（internal structures）の例だが、これは使えそうだ。次のような記法を使うことにしよう。

• 構造の名前を小文字で書く。例えば、cat, mon-cat, semiring
• その構造の圏はキャメルケース Cat, MonCat Semiring
• 内部構造は in を使って表記する。cat in Cat, cat in MonCat
• 明示的に書きたいときは、CATOFを使う。Cat := CATOF(cat)
• 名前を定義するときは := を使う。DCat := CATOF(cat in Cat)

とりあえず面白そうなのは、cat in MonCat, mon-cat in Cat, mon-cat in MonCatの関係。cat in MonCat と mon-cat in Cat は対応するのか？ 直観的には、CATOF(cat in MonCat) と CATOF(mon-cat in Cat) は圏同値のようだ。MONCATOF(cat in MonCat) と MONCATOF(mon-cat in Cat) がMonCat同値かも（ウワーッ、頭山現象！）。

トレース付き対称モノイド圏を単にtr-catとすると、遷移翻訳系の圏は tr-cat in TrCat になっている気がするのだけど、確認は相当な労力がかかるな。しかし、もしホントなら、部分構造を大量生産できる。大量生産機構は大好きだな。