乗法的ベキ等可換環とブール束

“古典論理＝可換環論”の計算と種明かし - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)をコピー。

1. MICR（乗法的ベキ等可換環）からBL（ブール束）がちゃんと作れること
2. BLからMICRがちゃんと作れること
3. MICR→BL→MICRでもとに戻ること
4. BL→MICR→BLでもとに戻ること

1. 計算用紙 1：MICR→BLの確認、うまくいった。BL側の∧ベキ等律を忘れているけど、x∧x := x + x + xx = x + x + x = x 。
2. 計算用紙 2：BL→MICRの確認、分配律のところで挫折。
3. 計算用紙 3：BL→MICRの分配律、なんとかなった。
4. 計算用紙 4：MICR→BL→MICRとBL→MICR→BLの確認、実際には一回失敗していて、もう一枚の計算用紙で“練習”している。

ブール束から定義した可換環（となるはずの代数系）における分配律と、BL→MICR→BLでミート（∧）が再現することを確認するときにワケワカラナクなっています。で、“オリジナルの状況”に戻ってうまくいことを再確認して、オリジナル計算を真似てもう一度やり直し。

この“オリジナルの状況”とは：

• 普通の集合ブール束（ベキ集合）は、対称差 X△Y := (X＼Y)∪(Y＼X) = (X∩Y^c)∪(Y∩X^c) を加法、∩を乗法とすれば、乗法的ベキ等可換環となる

というものです。この事実は見やすく確認も容易です。これをもとに、双対原理により“ひっくり返した”定義が「古典論理は可換環論なんだよ」で紹介した定義です。人為的にひっくり返しているため、直観が働きにくくなってしまうんですよね。

実は、Tを1に対応させることも出来て、そのほうが関手の構成は直観的で楽だったりします。

とはそういう事情を言っています。

後で見て混乱しないように注意：

1. 記法は計算ごとに少しずつ変えています。
2. 束演算から定義された加法を#、乗法を・とか*で表しているところがあります。
3. 主に束演算を行うところでは、x∨y→x + y, x∧y→xy, ¬x→x'と書いています。この記法だと、加法が乗法に対して分配するところが奇妙になるので注意。
4. 環演算から定義された∧をΠで表しているところがあります。