さまざまな構造と圏の関係

まず、クリーネ圏（Kleene圏）という用語は定着まではしてないが安定した定義があるからソレデヨイとしよう。（トレース付き双デカルト・モノイド圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編）

• Kleene圏は本質的に順序的である（定義の上では等式的でも）。
• 定義に、条件式（Horn式）が入る。
• 任意の圏のベキ圏がKleene圏になる。したがって、対象類に関して特に制限はない。
• Kleene代数は単一対象のKleene圏である。

以前（Kozen圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編）、トレース付き・ベキ等・双デカルト・対称モノイド圏をコォゼン圏（Kozen圏）と定義したが、むしろ、双積を持つKleene圏をKozen圏と呼ぶべきだという気もする。行列計算ができるKleene圏という感じ。さて：

1. Kleene圏が直積を持てば、それは双積か？
2. 双積を持つKleene圏は、Δ;∇=1 という意味でベキ等か？
3. 圏の意味での零射は、home-setの最小元と一致するか？
4. 双積から定義される和は、home-setの和と一致するか？