厳密な双デカルト・対称モノイド圏は自明にAbMon圏

コラディニ／ガダッチ（Corradini/Gadducci）のGSモノイド圏のような等式（equational）スタイルで厳密（strict）な双デカルト・対称モノイド圏が定義されているとする。一方、マクレーン本のAb圏とまったく同様にAbMon圏を定義する。AbMonはアーベル（可換）モノイドの圏である。

この状況で、厳密な双デカルト・対称モノイド圏がAbMon圏になることは、ほぼ自明である。f∨g = Δ;(f+g);∇ として：

• (f∨g)∨h = f∨(g∨h) は、Δの余結合律と∇の結合律から出る。
• f∨g = g∨f は、Δの余可換律と∇の可換律、対称ブレイディングσのスワップ公式から出る。
• 0∨f = f は、Δの余単位律と∇の単位律から出る。
• f;(g∨h) = f;g∨f;h は、f;Δ = Δ;(f+f)と ∇;f = （f+f);∇ から出る。

結局、対角と終対象(Δ_X, !_X)、余対角と始対象(∇_X, θ_X)が、Xごとに可換コモノイド、可換モノイドを作る点が重要。

AbMon圏では、XごとにEnd(X)が半環を作る。圏がベキ等であればEnd(X)もベキ等半環。特に、圏が単生（1つの対称で生成）ならば、半環上の行列圏に圏同値、ベキ等ならば、ベキ等半環上の行列圏に圏同値。Lawvereスタイルの（つまり、対象がNである）行列理論（matrix theory）があれば、そのCモデルM:T→C（Tが理論）は、M(1)で決定されることになる。よって、Model(T, C)≒|C| となる。さらに、Model(T, C)を圏と考えれば、Model(T, C)≒C -- って、コレ、もう少し詳しい記述が欲しい。