力学との類似

とにかく、書けるときはワサワサ書いておくぞー。

ちゃんと調べたり確認したりする余裕／気力／能力に欠けるので、激しく山勘を働かせてイイカゲンな作業仮説を書くことにする。

まず、「状態空間が存在する」と信じよう。たまに信じられなくなるのだが、信じないと現状どうにもならん！ Sが状態空間として、Pow(S)の部分ブール代数Aがあるとする。Aがほぼ観測量に相当する。実際には、観測量（基本値）空間Vがあって、V内で適当な論理でdefinableな部分集合達があって、それらの逆像達としてAが与えられる。

Aの極大イデアル空間をXとする；X = Max(A)。XとSは違うかもしれないが、Aに対する自然な定義域はSではなくてXとなる。Aしか与えられるない状況では、Sは単なるフィクション（理想概念）であり、むしろXが認識可能な実在である。状態空間Sとブール代数Aの組(S, A)からなる対象の圏が考えられるが、我々から見えるのは、空間と反変的なブール代数とブール代数準同型の圏である。

空間S（むしろX）上の力学とは何か？ とりあえずそれは遷移α:S→Pow(S)だと考える。遷移はブール代数A上の様相オペレータを定義する。Aの様相オペレータの全体をMO(A)とすると、MO(A)が空間S（むしろX）上の“力学”の全体を与える（と考える）。

次が重要な事実となるだろう。

• ブール代数Aから、Sの点を観測的（observational）に同一視した空間を再現できる。それはXである。
• ブール代数Aの様相オペレータαから、X上の遷移を定義できる。これは、S上の遷移を観測的な同一視を除いて（up-to equiv.で）再現する。

次のような類似がある。

多様体	状態機械
空間M	空間S
実数体	2値ブール代数
関数環C(M)	ブール代数A⊆Pow(S)
極大イデアル空間	極大フィルター空間
M上のベクトル場	S上の遷移
C(M)の微分	Aの様相オペレータ
多様体の写像	状態空間の写像
可換環の準同型	ブール代数の準同型
ベクトル場の軌道	遷移の軌跡