いろいろ

連休は忙しくて(?)メモ書くひまもない。が、いろいろ書くべきことはある。

デカルト性

cartesianという形容詞を詮索する。

1. 有限直積がある。または、モノイド積が有限直積を与える。
2. 有限完備、有限連続。
3. 引き戻し図に関係する；デカルト自然変換、ファイブレーションのデカルト射

変形された自然性

マクレーンの本に、対角自然性（dinaturality）、特別自然性（extranaturality）が載っている。対角自然の例は、不動点オペレータやトレースに出てくる。特別自然性は、notions of processに出てきた。TODO: 事例と共にまとめる。

不動点では、D^Eが指数だとして、f:D→Eに対して、D^E -[(-)^f]→D^D と D^E -[f^(-)]→ E^D を考える。α_D, α_Eに関して次が対角自然性：

 D^E -[(-)^f]→D^D -[α_D]→D -[f]→ E

 ====================================

 D^E -[f^(-)]→E^E -[α_E]→E

※ ついでにトレースの自然性： home-set関手 K(X) = C(A+X, B+X) と定数関手L(X) = C(A, B)を考える。K, L :C×C^op → Set 。TrのXを固定して、A, Bをインデックスとする変換（射の族）として、K⇒Lの自然性はタイトニングになる。

cotensorial strength

コモナドにcotensorial strength（余テンソル強度）ってのがあるらしい。tensorial costrength（テンソル余強度）とは違う。bistrengthってのもあるらしい。

ツリー状レコードのモナド

フィールド名にパスを使うと、レコードをモナドにできる。しかもイデアルモナドになる。リストモナドと複合することができて、モナド直和の例になる。モナド直和は素性構造になる。

パラメータを持ったモナドの例でもある。これは、インデックス圏かファイブレーションだろう。