このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

セオリーのk-レイヤーの構成素

インスティチューション セオリー論 用語法

予備知識／能力として、原始組み合わせ幾何〈primitive combinatrial geometry〉を仮定する。有限点や有向線分などを理解している、とする。n-箙、特に有限n-箙は原始組み合わせ幾何の概念で直観で理解可能だとする。参照→ マテリアル計算 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

  • n-指標は、原始組み合わせ幾何で理解できる。nを超えるkに対してk-アローを持たない箙。n-指標は、標準的に(n+1)-指標になる。反射的箙の場合は、恒等アローを付け加える。
  • n-仕様は、n-指標のアローに指定された恒等アローを追加したもの。アローの一部を恒等だとマークしたもの。マークには、k-identity構文を使う。マークがないなら、それは勝手な射と解釈される。マークがあれば、恒等射と解釈される。

n-セオリーは下限次元（最小次元）がnである無限タワーのことなので、n-セオリーには k ≧ n に対するk-レイヤーがある。k-レイヤー内に“ある”と思えるものには下付きkを付けることにする。

  1. k-リテラチャーは、そのセオリーで使う全てのk-指標またはk-仕様の集まり。k-仕様の集合はk-指標の集合を含む。
  2. k-指標の全体は、ほぼ自明な方法で圏になるが、1以上のjに対してj-圏になるかどうかはとりあえず不明。指標＝箙の変換手〈transfor〉が定義可能で、i-変換手を(i+1)-射とする高次圏ができるだろうとは思う。
  3. k-リテラチャーは、ストリクト(k+1)-圏になるだろうが、ストリクトなだけではなく、骨皮〈gaunt | ガウント〉になるだろうと予想する。
  4. (k+1)-指標から、k-リテラチャーを作る操作 For Ψ in (k+1)-Quiv. k-Lit(Ψ) in k-Liter があるだろう。ここで、k-Literは骨皮(k+1)-圏の部分圏だと思われる。
  5. k-レイヤーの最初の構成素は、特定のk-リテラチャー。このk-リテラチャーをLkで表す。Lk = k-Lit(Σk+1) の関係があり、k-リテラチャーは上位の(k+1)-レイヤーから作られる。
  6. 特定された（distinguished, selected, chosen）仕様Σk、Σk in Lk 。
  7. k構造のk-モデルから構成されるk-圏であるk-クラスCk。
  8. k-クラスを作る時に使う、k-アンビエントAk。Ak = Ik+1 なので、k-アンビエントは上の階層から来る。
  9. k-クラスCkから特定されたk-インスタンスIk。Ik in Ck 。
  10. k-レイヤーにおけるセマンティクス Sk。Skは関手で、Sn:Lk×Ck+1→Ck+1 in Ck+2。セマンティクスは指数関手である。k-クラスCkは、セマンティクスの特定値になっている。Cn := Sn(Σn, An) 。セマンティクスは、レイヤーをまたがる関手。
  11. 式関手は、k-Expr:Lk→Ck+1 in Ck+2 という自由生成関手であり、これもレイヤーをまたぐ。k-Expr(σ) により一階層上の構造が生成される。
  12. Ck+1(k-Expr(σ), Ik+1) がk-クラスの定義。
  13. Ck+1がデカルト閉圏とするので、Ck+1(k-Expr(σ), Ik+1) はCk+1の対象である。したがって、Ck in Ck+1 。
  14. 最初にk-リテラチャーを作る、k-Lit:Lk+1→Ck+1gaunt と、指標から圏を作る k-Expr:Lk→Ck+1 in Ck+2 が逆帰納ステップの推進機構〈excavator | エクスカヴェイター〉になっている。

k-Lit:Lk+1→Ck+1 が一番謎かも知れない。これを調査しないと。

重要で謎なのは、k-リテラチャーとリテラチャー生成手〈literature generator〉。

低層階レイヤー

インスティチューション セオリー論

通常集合論

レイヤー 選択されたインスタンス アンビエント
レイヤー 3 I3 = s2-圏 CAT A3 = s3-圏 s2-\mathbb{CAT}
レイヤー 2 I2 = 圏 Set A2 = s2-圏 CAT
レイヤー 1 I1 = 集合 A A1 = 圏 Set
レイヤー 0 I0 = 要素 a A0 = 集合 A

線形代数的モノイド論

レイヤー 選択されたインスタンス アンビエント
レイヤー 3 I3 = s2-デカルト圏 CAT A3 = s3-デカルト圏 s2-\mathbb{CAT}
レイヤー 2 I2 = モノイド圏 Vect A2 = s2-デカルト圏 CAT
レイヤー 1 I1 = モノイド M A1 = モノイド圏 Vect
レイヤー 0 I0 = ベクトル v A0 = ベクトル空間 V