3点テンパリー／リーブ代数の行列表現の作り方

後で計算用紙をスキャンした画像を貼る予定。（貼った）

ジョニーへの伝言：3点テンパリー／リーブ代数の行列表現

ゴミ箱から裏紙を拾い出して、イッパイ計算した。オジチャン、疲れたよ、もう。

計算を4回くらい失敗したので、紙をけっこう消費してしまった（↓）。

うまくいった計算だけなら紙2枚くらいか？（紙4,5枚）

[追記]1,2箇所、書き間違いがあるが、見れば分かる程度だからイイヤ。[/追記]

心の準備

1. クロネッカー・デルタの定義と公式を復習しておく。
2. 平面（2次元ベクトル空間）の正規直交基底をe₁, e₂とする。しばらくこれを眺めてから、e₁, e₂ と太字をやめる。
3. 太字じゃなくてもベクトルだと思えるようになる。
4. そしたら、平面の正規直交基底だったことも忘れる（潜在意識には残しておく）。

形式的にテンソル代数を定義する

1. {e₁, e₂}から生成される自由非可換代数を考える。
2. e₁とe₂に関する次数を考えて、次数がkである斉次部分をP^kとする。
3. P⁰, P¹, P², P³ を使う。
4. ∇:P²→P⁰ と Δ:P⁰→P² を具体的に定義する。メンタルモデル（潜在意識）としては、内積と対角スカラー行列を考える。
5. Δ;∇ と ∇;Δ を具体的に計算する。
6. I∇、∇I、IΔ、ΔI を定義し、具体的な表式を求めておく。

必要な等式を示す

1. I∇、∇I、IΔ、ΔI に関してジグザグ恒等式を示す。
2. ループ出現が「×2」であることを示す。
3. RとSをI、∇、Δから作って、ジグザグ恒等式とループによる掛け算の性質からRとSに関する恒等式を示す。

書き下す

1. RとSをできるだけ展開しておく。
2. {1, 2}×{1, 2}×{1, 2} から {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}への写像を固定して、添字の等式から行列成分を求める。
3. 1マスが2×2の行列である4×4の方陣を使うと便利。

挫折ポイント

最初から最後まで行列だけで計算しようと思ったんだが、これで何度も挫折した。原理的にはできるはずだが、間違いをおかす。もともとがテンソル代数の構造を持っているので、無理に添字をフラットにすると、添字の対応関係を取るのが大変。置換を1個でも忘れるとオジャン。

整数の加減乗除のなかにもひそんでいるヤン・バクスター方程式：

ウチの長男も割り算は苦手のようだが、僕もダメだ。アタマこんがらかって計算できないよー。挫折した。

ここ（↑）に書いた事情がからんでいる。行列の行の置換、列の置換を適切に行わないといかんのだが、その管理が僕の手に余る。